\documentclass[12pt]{beamer}

\usepackage{fontspec} %支持文章中字体配置
\usepackage{amsmath} %支持更多数学格式
\usepackage{xcolor,graphicx}


\setsansfont{WenQuanYi Zen Hei}

% \mode<beamer>{%
%   \usetheme[hideothersubsections,
%   right,width=22mm]{Goettingen}
% }

\title{第二章 范数}
\author[]{曹金}

\institute{UESTC}
%\titlegraphic{\includegraphics[width=20mm]{USTL}}

\date{2012}

\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{主要内容}
  \tableofcontents
\end{frame}


\section{范数}

\subsection{向量范数}

\begin{frame}
  \frametitle{向量范数的定义}
  为什么需要定义范数? \pause
  \begin{block}{定义}
    已知线性空间V(F), $u, v \in V, a \in F$, 设映射$f: V \rightarrow R$, 且f满足:
    \begin{enumerate} \pause
    \item 正定性: $f(u) \ge 0, \text{当且仅当}u = 0\text{时}, f(u) = 0$ \pause
    \item 奇次性: $f(au) = |a|f(u)$ \pause
    \item 三角不等式: $f(u + v) \le f(u) + f(v)$
    \end{enumerate} \pause
    则称映射f为V上的向量范数, 记为$\| \cdot \|$

  \end{block}
\end{frame}


\begin{frame}
  \frametitle{常见向量范数} \pause
  设$x={x_1,x_2,\dots,x_n}^T \in C^n$, 则
  \begin{itemize}
  \item \[ \| x \|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i| \]
  \item \[ \| x \|_2 = (\sum_{i=1}^n |x_i|^2)^{1/2} \]
  \item \[ \| x \|_\infty = \max_{1 \le i \le n} |x_i| \]
  \end{itemize}
  证明l2是范数.
\end{frame}


\begin{frame}
  \frametitle{在二维平面上三种范数的单位圆} \pause
  \begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.2\textwidth]{140px-Vector_norms.svg.png}
    \caption{不同范数的单位圆,$\| \cdot \| = 1$}
  \end{figure}

\end{frame}


\begin{frame}
  \frametitle{柯西-施瓦茨不等式} \pause
  \[ \big| \langle x,y\rangle \big|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle,\] 
  \[\text{或者,} \big| \langle x,y\rangle \big| \leq \| x \|_2 \cdot \| y \|_2 \] \pause
  证明.
\end{frame}


\subsection{矩阵范数}

\begin{frame}
  \frametitle{矩阵范数的定义} \pause
  \begin{block}{定义}
    设$A \in P^{m \times n}$, 若映射$\| \cdot \|: P^{m \times n} \rightarrow R$, 且满足:
    \begin{enumerate} \pause
    \item $ \| A \| > 0, \forall 0 \neq A \in P^{m \times n} $ \pause
    \item $ \| \lambda A \| = | \lambda | \| A \|, \forall \lambda \in P, \forall A \in P^{m \times n} $ \pause
    \item $ \| A + B \| \le \| A \| + \| B \|, \forall A, B \in P^{m \times n}  $
    \end{enumerate}
  \end{block} \pause
  则称映射$\| \cdot \|$为$ P^{m \times n} $上的矩阵范数.
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{常见矩阵范数} \pause
  \begin{block}{}
    设$A \in P^{m \times n}$
    \begin{itemize}
    \item \[ \| A \|_{m_1} = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^m | a_{ij} |\] 
    \item \[ \| A \|_{m_2} = ( \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^m | a_{ij} |^2 )^{1/2} \]
    \item \[ \| A \|_{m_\infty} = \max_{i,j} \{ | a_{ij} | \} , 1 \le i \le m, 1 \le j \le n \]
    \end{itemize}
  \end{block}
\end{frame}


\section{补充内容: 常见线性空间}

\subsection{零空间}



\begin{frame}
  \frametitle{零空间(null space)} \pause
  所有满足方程Ax=0的解的集合就是A的零空间. \pause
  为了更好地理解零空间, 介绍一下核和像的概念.
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{同态的核和像} \pause
  设有同态映射:
  \[ f:A \rightarrow B \] \pause
  \[ Kerf = \{ a \in A | f(a) = e' \} \]
  \[ Imf = \{ x \in B | x = f(a), \forall a \in A \} \]
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{同态的核和像的示意图} \pause
  \begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=1\textwidth]{ker&im.png}
    \caption{同态映射的核与像}
  \end{figure}

\end{frame}


\begin{frame}
  \frametitle{从核的角度理解零空间} \pause
  现在, 设同态映射:
  \begin{eqnarray}
    f &:C^m \rightarrow C^n \nonumber \\
    &  x \mapsto Ax \nonumber
  \end{eqnarray} \pause
  则:
  \[ \mbox{Null}(\mathbf{A})=\mbox{Ker}(\mathbf{A}) = \left\{ \textbf{x}\in\mathbb{C}^n | \mathbf{A}\textbf{x} = \textbf{0} \right\}\text{,} \]
\end{frame}


\subsection{列空间}

\begin{frame}
  \frametitle{列空间(column space)} \pause
  \begin{block}{}
  矩阵$A = (v_1,v_2,\dots,v_n)$, 所有可能的
  \[ c_1 \textbf{v}_1 + c_2 \textbf{v}_2 + \cdots + c_n \textbf{v}_n\text{,} \]
  就是A矩阵的列空间, \pause
  又可以看作是A的列向量组$v_1,v_2,\dots,v_n$张成的子空间.
  \end{block}
  该空间的维数是矩阵A的秩.
\end{frame}



\subsection{内积空间和欧式空间}

\begin{frame}
  \frametitle{内积空间和欧式空间} \pause
  内积空间是具有内积结构的向量空间(线性空间).
  \begin{block}{定义}
    在线性空间$V_n(F)$上, 若映射(x,y):
    \[ V_n(F) \times V_n(F) \rightarrow P \]
    满足:
    \begin{enumerate}
    \item $(x,x) \le 0; (x,x) = 0 \text{当且仅当}x = 0$
    \item $(x,y) = \overline{(y,x)}, \forall x,y \in V_n(F)$
    \item $ (\lambda x,y) = \bar{\lambda} (x,y), \forall \lambda \in P, \forall x,y \in V_n(F)$
    \item $ (x + y,z) = (x,z) + (y,z), \forall x,y,z \in V_n(F)$
    \end{enumerate}
    则称(x,y)是$V_n(F)$上的内积, 将定义了内积的线性空间称为内积空间. 当F=R时, 是内积空间简称为欧式空间.
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{block}{}
    问题讨论
  \end{block}
\end{frame}

\end{document}
